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Einführung in die Elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale
Edmund Landau
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AMS Chelsea Publishing
1949; 147 pp; hardcover
Volume: 62
Reprint/Revision History:
Reprinted 2005
ISBN-10: 0-8218-3758-3
ISBN-13: 978-0-8218-3758-0
List Price: US$37
Member Price: US$33.30
Order Code: CHEL/62.H
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The first part of this book provides a short and self-contained account of the theory of algebraic numbers and ideals leading up to Dedekind's theorem that every ideal of an algebraic number field is the unique product of prime ideals. The author also proves the finiteness of class number as well as Dirichlet's unit theorem. The second part studies Landau's generalization of the prime number theorem that was conjectured by Gauss in the eighteenth century and proven by Hadamard and Vallée Poussin in 1896. Landau generalized this fundamental result to arbitrary number fields in 1903. A few months before the publication of this book in 1917, Hecke proved a ground-breaking result about the analytic continuation of Dedekind zeta functions. The inclusion of a proof of Hecke's result in this book enabled Landau to reprove and sharpen his old prime ideal theorem as well as to present a variety of interesting corollaries. This book is based on lectures that the author gave in Berlin and Göttingen.

Table of Contents

Elementare Idealtheorie
  • Von den Polynomen
  • Von den algebraischen Zahlen
  • Von den algebraischen Zahlkörpern
  • Von den Idealen
  • Von den Primidealen
  • Von den Normen der Ideale
  • Hilfssätze über lineare Funktionen
  • Von der Einteilung der Ideale in Klassen
  • Von den Einheiten
Analytische idealtheorie. Fortsetzung der Dedekindschen Zetafunktion
  • Einfachste Eigenschaften der Dedekindschen Zetafunktion
  • Hilfssätze über Thetafunktionen
  • Die Heckesche Thetaformel
  • Die Heckesche Funktionalgleichung für \(\zeta(s;\mathfrak{K})\) und \(\zeta(s)\)
Von den Wurzeln der Zetafunktion im kritischen Streifen
  • Hilfssätze aus der Funktionentheorie
  • Über die ordinaten der wurzeln von \(\zeta(s)\) im kritischen Streifen
  • Produktzerlegung der ganzen Funktion \((s-1)\zeta(s)\)
  • Nochmals \(N(T)\)
  • Nichtverschwinden von \(\zeta(s)\) in einem Teile des kritischen Streifens
Der Primidealsatz
  • Weitere Hilfssätze über die Zetafunktion
  • Beweis des Primidealsatzes
Verallgemeinerung der Riemanu-von Mangoldtschen Primzahlformel
  • Weitere Hilfssätze über die Zetafunktion
  • Die Primidealformel
  • Von der Reihe \(\sum_\rho (x^\rho/\rho)\)
Die Anzahl der Ideale mit Norm \(\leq x\)
  • Elementare Abschätzungen
  • Hilfssätze über einige Integrale
  • Die Idealfunktion
  • Historische Bemerkungen
  • Bemerkungen zu den einzelnen Paragraphen
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