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Differentialgleichungen
Sophus Lie
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AMS Chelsea Publishing
1967; 568 pp; hardcover
Volume: 206
Reprint/Revision History:
first AMS printing 2004
ISBN-10: 0-8218-3742-7
ISBN-13: 978-0-8218-3742-9
List Price: US$65
Member Price: US$58.50
Order Code: CHEL/206.H
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Sophus Lie had a tremendous impact in several areas of mathematics. His work centered on understanding continuous transformation groups and showing how these groups supply an organizing principle for different areas of mathematics. One of those areas is differential equations, and this book is his magnum opus on the subject.

One of Lie's major interests was to develop a theory for differential equations in analogy to Galois theory for polynomial equations. He showed how one could naturally associate a continuous group to a differential equation, so that the solvability of the group (in the sense of algebra) is related to the solvability of the differential equation (in the sense of "quadrature", meaning integration and algebraic manipulations). The book also discusses Lie's remarkable classification of all three-dimensional groups and their possible actions on the plane. The exposition in the book is elementary and contains numerous examples.

This is a textbook on the integration of ordinary and partial differential equations in which the Lie theory for solving such equations is expounded. The text is in German.

Readership

Table of Contents

Abteilung I. Die Begriffe: Infinitesimale Transformation und eingliedrige Gruppe in der Ebene
  • Beispiele von Gruppen von Punkttransformationen
  • Eingliedrige Gruppe in der Ebene
  • Symbol einer infinitesimalen Transformation und einfache Formen einer eingliedrigen Gruppe der Ebene
  • Bestimmung aller Functionen und Curven, welche bei einer eingliedrigen Gruppe der Ebene invariant bleiben, insbesondere der Bahncurven
Abteilung II. Verwertung des Begriffes der infinitesimalen Transformation für Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen zwei Veränderlichen
  • Invariante Curvenscharen
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung in \(x, y\), welche eine eingliedrige Gruppe gestatten
  • Beziehungen zwischen den infinitesimalen Transformationen, welche eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in \(x, y\) gestattet
  • Über die Bestimmung der Scharen von \(\infty^1\) Curven und der Differentialgleichungen erster Ordnung, welche eine vorgelegte eingliedrige Gruppe gestatten
  • Geometrische Anwendungen
Abteilung III. Eingliedrige Gruppen in drei Veränderlichen
  • Systeme simultaner gewöhnlicher Differentialgleichungen und lineare partielle Differentialgleichungen. --Die Jacobi'sche Identität
  • Eingliedrige Gruppe in drei Veränderlichen
  • Bestimmung aller bei einer eingliedrigen Gruppe des Raumes invarianten Functionen, Curven und Flächen, insbesondere der Bahncurven
  • Erweiterte Gruppe von Punkttransformationen der Ebene. Endgültige Erledigung der Probleme, betreffend die Differentialgleichungen erster Ordnung, welche eine infinitesimale Punkttransformation zulassen
Abteilung IV. Eingliedrige Gruppen und infinitesimale Transformationen in \(n\) Veränderlichen. Verwertung dieser Begriffe für Differentialgleichungen
  • Eingliedrige Gruppe in \(n\) Veränderlichen, simultanes System gewöhnlicher Differentialgleichungen und lineare partielle Differentialgleichung in \(n\) Veränderlichen
  • Lineare partielle Differentialgleichungen \(Af=0\), welche eingliedrige Gruppen gestatten
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung in \(x, y\), welche eine eingliedrige Gruppe gestatten
  • Differentialgleichungen zweiter Ordnung in \(x, y\), welche mehrere infinitesimale Transformationen gestatten. Gruppen von infinitesimalen Transformationen
  • Zurückführung der zweigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen der Ebene auf canonische Formen
  • Integration der gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in \(x, y\), welche zwei bekannte infinitesimale Transformationen gestatten
  • Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung in drei Veränderlichen, welche bekannte infinitesimale Transformationen gestattet
Abteilung V. Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche eine dreigliedrige Gruppe gestatten, und verwandte Probleme
  • Bestimmung der Zusammensetzung aller dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen
  • Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen in zwei Veränderlichen
  • Zurückführung der dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen der Ebene auf ihre canonischen Formen
  • Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung in \(x, y\), welche eine bekannte dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen gestattet
  • Lineare partielle Differentialgleichungen in vier Veränderlichen und gewöhnliche Differentialgleichungen dritter Ordnung in \(x, y\)
  • Schlusswort
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